# Lire un fan chart et des percentiles sans se tromper Le graphique le plus dense de toute la planification de retraite est le cône de richesse, le « fan chart » : des milliers de trajectoires simulées résumées en bandes de percentiles qui s'évasent avec le temps, quelques chemins d'exemple, une ligne de zéro. C'est aussi le graphique le plus mal lu. On y voit des promesses là où il y a des fréquences, des scénarios là où il y a des quantiles ponctuels, et de l'incertitude du monde là où il y a parfois surtout l'incertitude du modèle. Or ce graphique est au cœur de tous les simulateurs FIRE sérieux (pofo, FICalc, cFIREsim, Portfolio Visualizer), et les mêmes conventions se retrouvent partout : la Banque d'Angleterre, qui a popularisé le format pour ses prévisions d'inflation, les projections climatiques du GIEC, toute la statistique prévisionnelle. Cette page apprend à le lire en professionnel, un vrai cône sous les yeux. Au programme : son anatomie exacte, pourquoi il a la forme qu'il a (chaque trait de sa géométrie est un fait de probabilité), les cinq erreurs de lecture classiques et leur correction, enfin les autres éventails qui complètent le cône de richesse. Après cette page, un cône se lira comme une phrase. ::: cle Le renversement de lecture Un fan chart ne montre pas des futurs. Il montre, pour chaque date, la **distribution** des états possibles à cette date. La bande à 90 % de l'année 20 dit « à l'année 20, 90 % des trajectoires simulées sont dans cette tranche ». Elle ne dit rien sur la façon dont une trajectoire donnée y est arrivée, ni où elle ira ensuite. Le cône est une pile de coupes transversales, pas un faisceau de chemins ; les vrais chemins, eux, traversent les bandes en zigzag toute leur vie. Toutes les erreurs de lecture découlent de la confusion entre ces deux objets. ::: ## Anatomie d'un cône ::: figure fan-anatomy Un plan à 45 ans d'horizon. Les bandes emboîtées sont des **quantiles par date** (25-75 %, 5-95 %), pas des scénarios. La médiane monte. Et les deux chemins d'exemple traversent les bandes : celui qui finit ruiné est parti par le haut, preuve qu'une bande n'est pas une trajectoire. ::: Prenons le cône ci-dessus, élément par élément. **Les bandes emboîtées.** Du plus foncé au plus clair, elles couvrent des intervalles de percentiles croissants autour de la médiane : ici la moitié centrale des futurs (25-75) et la quasi-totalité (5-95). À chaque date, on a trié les milliers de richesses simulées et tracé les quantiles ; la bande n'est donc pas un « scénario prudent » ou « optimiste », c'est une statistique d'ensemble, recalculée indépendamment à chaque pas de temps. **La ligne médiane.** C'est le 50e percentile : à chaque date, la moitié des futurs sont au-dessus, la moitié en dessous. Deux subtilités. D'abord, la médiane n'est pas une trajectoire, car aucun futur ne la longe ; y rester exigerait un miracle de régularité. Ensuite, elle n'est pas non plus la moyenne. Les distributions de richesse composée sont très asymétriques, bornées à zéro en bas et illimitées en haut, si bien que la moyenne est tirée vers le haut par les scénarios opulents. Quand un vendeur dit « en moyenne, vous finirez avec 4 M€ », il cite souvent la moyenne parce qu'elle flatte ; la médiane, elle, donne la bonne intuition de « ce qui vous arrivera plausiblement ». **Les chemins d'exemple.** Les deux trajectoires fines de la figure (verte et rouge) sont des futurs individuels, tracés pour une seule raison : montrer qu'un chemin réel traverse les bandes au lieu d'en longer une. La verte prospère en zigzaguant ; la rouge part dans le peloton (elle passe même au-dessus de la médiane les premières années) puis s'effondre jusqu'à la ruine. Un bon graphique en trace davantage, huit par exemple, selon une règle qui permet un diagnostic d'un coup d'œil. On trie toutes les trajectoires simulées par leur richesse finale, puis on en prélève huit à rangs régulièrement espacés, de la pire à la meilleure. Elles jalonnent la distribution des issues, autour des percentiles 0, 14, 29... 86, 100 de richesse finale (huit points, sept intervalles, soit des pas d'environ 14 %, et non 12,5). Chaque chemin est colorié en rouge s'il a touché zéro à un moment de sa vie. Or les trajectoires ruinées sont exactement celles de plus faible richesse finale. Les rouges sont donc toujours les chemins du bas du classement. D'où le raccourci : **compter les rouges situe la ruine**. Un seul rouge sur huit, et seule la pire tranche a fait faillite : la ruine reste sous ~14 %. Deux rouges, et l'on monte jusqu'à ~29 % environ. Trois rouges, c'est autour d'un futur sur quatre. Pas besoin de lire un chiffre, le nombre de traits rouges donne l'ordre de grandeur. **La ligne de zéro et l'écrêtage du haut.** Le zéro est la seule frontière absolue du graphique : la ruine ([[ruine-et-probabilites]]). L'axe vertical, lui, gagne à être écrêté, par exemple à dix fois le capital initial. Sans cela, les scénarios composés à 30-40 ans, qui peuvent atteindre 20-50 fois la mise, écraseraient visuellement la zone du zéro, celle qui motive pourtant tout l'exercice. C'est un choix de représentation assumé : on sacrifie le spectacle de la queue haute pour garder lisible la queue basse, celle qui décide. ## Pourquoi le cône a cette forme Chaque trait géométrique du cône est un théorème déguisé ; les connaître, c'est savoir diagnostiquer un plan d'un regard. **Il s'évase, et de plus en plus lentement.** Pour des rendements sans mémoire, l'incertitude cumulée croît comme la racine du temps (√t). Le cône s'élargit donc vite au début, puis de moins en moins. Un cône qui s'évase plus que √t signale une mémoire aggravante : ce sont les retraits, car un début raté creuse un écart que les prélèvements fixes amplifient ensuite. Les vrais marchés, eux, avec leur léger retour des valorisations vers leur moyenne, s'évasent un peu moins à très long terme. C'est l'une des raisons pour lesquelles les modèles i.i.d. sur-dispersent légèrement l'horizon lointain ([[monte-carlo-forces-faiblesses]]). **La médiane d'un plan sain monte.** À un retrait de 3-3,5 % et un rendement réel espéré supérieur ([[rendements-attendus]]), le scénario central croît plus vite qu'on ne ponctionne : la médiane à 30 ans dépasse souvent le double du capital initial en termes réels. Voir en même temps une médiane opulente et des chemins rouges n'est pas une contradiction. C'est la définition même d'un plan de retrait, dont l'asymétrie (médiane riche, queue basse ruinée) est irréductible ([[horizon-et-esperance-de-vie]] explique pourquoi survivre aux 30 premières années suffit presque toujours). **Le bas du cône plonge d'abord, ou pas.** C'est le trait le plus utile à lire, et il vaut d'être vu sur deux plans côte à côte. ::: figure fan-two-plans Deux plans, même horizon. À gauche, un plan **défendu** (buffer, flexibilité, revenus précoces) : le 5e percentile s'enfonce lentement et reste positif. À droite, un plan **tendu** sans marges : le 5e percentile pique vers zéro dès la première décennie. La pente du bas du cône sur ces dix premières années **est** votre exposition au risque de séquence. ::: Regardez le 5e percentile des dix premières années (la ligne colorée du bas sur chaque cône). C'est la fenêtre fragile rendue visible ([[sequence-des-rendements]]). Un plan bien défendu montre un bas de cône qui s'enfonce lentement puis se redresse ; un plan à retrait tendu sans marges montre un 5e percentile qui pique vers zéro dès les années 5-10. Deux cônes de largeur comparable peuvent ainsi cacher des expositions opposées : tout est dans la **pente du bas au début**. ::: science Percentiles ponctuels et trajectoires : la « percentile path fallacy » L'erreur conceptuelle la plus profonde du fan chart mérite son encart, et la figure d'anatomie la montre. Le « 5e percentile » tracé n'est **pas** un scénario. C'est la couture de milliers de scénarios différents, chacun n'occupant ce rang qu'un moment. Une vraie trajectoire du pire décile visite d'ordinaire la bande médiane certaines années. Et, à l'inverse, la trajectoire qui finit ruinée a souvent passé ses premières années dans la moitié haute, exactement comme le chemin rouge de la figure d'anatomie (deux belles années avant le plongeon, c'est le millésime 2000, [[etude-trinity]]). Conséquence pratique : on ne peut pas lire sur le cône « si je suis sous le 10e percentile en année 5, je finirai ruiné ». Le cône ne contient pas les probabilités conditionnelles le long des chemins. Cette question (« où en suis-je, et que dois-je en conclure ? ») est légitime et cruciale, mais elle exige un autre outil : le suivi par seuils de taux de retrait courant ([[quand-s-inquieter]]), pas la contemplation du cône. ::: ## Les cinq erreurs de lecture, et leur correction **Erreur 1 : lire la médiane comme une promesse.** « Le simulateur dit que j'aurai 2,8 M€ à 75 ans. » Non. Il dit que la moitié des futurs simulés dépassent ce montant si les hypothèses tiennent. Correction : la médiane sert à comparer des plans entre eux et à calibrer les décisions de type legs/dépenses ([[depenses-en-retraite]]) ; les décisions de sécurité se prennent sur le bas du cône et la ruine. **Erreur 2 : choisir sa bande comme on choisit un menu.** « Je planifie sur le 25e percentile, c'est prudent. » Le percentile ponctuel n'est pas un scénario vivable (la percentile path fallacy ci-dessus) ; et la prudence par percentile est incohérente dans le temps. Correction : la prudence se règle par les **modèles** (planifier entre un central honnête et un modèle pessimiste, [[historique-vs-parametrique]]) et par le seuil de ruine acceptable, pas en se promenant dans les bandes. **Erreur 3 : oublier que le cône est conditionnel au modèle.** Le cône d'un modèle paramétrique central et celui d'un rejeu historique dur sont deux objets différents pour le même plan. L'écart entre ces cônes mesure l'incertitude épistémique, celle du monde inconnu : on ne sait pas lequel est le bon. Il dépasse souvent la largeur d'un seul cône, qui ne mesure, elle, que l'incertitude aléatoire, le hasard dans un monde donné. Les meilleurs simulateurs affichent donc plusieurs cônes, un par modèle de marché, à la même échelle. Quand ces cônes se ressemblent, le plan est robuste au choix de modèle. Quand ils divergent, cet écart est le vrai risque, et la décision se prend sous les modèles durs. Correction : lisez d'abord la différence entre les cônes, ensuite la forme de chacun. **Erreur 4 : l'illusion d'échelle.** Un axe linéaire écrase visuellement les premières années (là où tout se joue) et dramatise les dernières ; un axe logarithmique ferait l'inverse et rendrait le zéro... impossible à tracer (log 0 = −∞). Le compromis courant est un axe linéaire écrêté (voir l'anatomie), qui garde le zéro et la lisibilité du début. Correction : quel que soit l'outil, demandez-vous toujours ce que l'échelle choisie amplifie et ce qu'elle cache, et cherchez la ligne de zéro avant tout. **Erreur 5 : compter les pixels plutôt que les probabilités.** La surface visuelle de la zone « ruine » dépend du nombre de chemins tracés, de l'épaisseur des traits, de l'écrêtage : rien de tout cela n'est une probabilité. Correction : le cône donne la **forme** du risque (quand, comment, avec quelle brutalité) ; les **chiffres** viennent de la probabilité de ruine et du tableau de résultats. Les deux se lisent ensemble, jamais l'un pour l'autre. ::: astuce Mise en pratique : manipuler un vrai cône Rien ne vaut un cône vivant, calculé sur votre propre plan. Un quart d'heure suffit. Dans le simulateur FIRE de pofo, la section des futurs simulés affiche quatre cônes du même plan, à la même échelle, un par modèle de marché. - Commencez par le cône central, seul. Repérez la médiane, la bande 25-75, la bande 5-95, la ligne de zéro. - Passez au cône le plus dur, celui de la décennie perdue. Comparez les deux bas de cône avant de comparer les deux médianes. - Suivez ensuite les huit chemins d'exemple. Comptez les rouges, ceux qui ont touché zéro, et vérifiez qu'aucun ne longe sa bande bien longtemps. - Basculez enfin la règle de retrait, du fixe indexé vers une règle flexible. Le bas du cône remonte, et l'éventail des dépenses servies montre ce que cette sécurité coûte à vivre. Le même parcours se fait ailleurs, dans tout outil qui trace une distribution de trajectoires (TPAW Planner et Portfolio Visualizer en bandes de percentiles, cFIREsim et FICalc en faisceau de millésimes historiques). Il faut seulement relancer le calcul modèle par modèle, puis garder les cônes côte à côte sous les yeux. ::: ## Au-delà de la richesse : les autres éventails Le format « distribution par date » sert trois autres lectures dans les simulateurs qui les proposent, chacune répondant à une question que le cône de richesse ne traite pas. **L'éventail des dépenses servies.** Dès que votre plan a une règle flexible (guardrails, VPW, ABW, [[panorama-strategies-retrait]]), la richesse ne suffit plus : la question devient « que vais-je vivre ? ». Un éventail du niveau de vie année par année montre son propre bas de cône : le train de vie du mauvais quart des futurs, pendant combien d'années, financé par quoi (portefeuille, pension, buffer). C'est la vue qui départage les règles de retrait : une règle qui « réussit toujours » avec un 10e percentile de dépenses à −35 % pendant douze ans n'a pas éliminé le risque, elle l'a déplacé de la faillite vers la vie ([[flexibilite-realite]]). **La distribution des héritages.** La coupe finale du cône de richesse, présentée en histogramme : combien reste-t-il au bout, dans tous les futurs ? La lecture type d'un plan sain choque toujours un peu. La masse est loin au-dessus du capital initial, car on meurt le plus souvent riche ([[une-annee-de-plus]], [[depenses-en-retraite]]), avec une petite barre à zéro : la ruine, vue de l'autre bout. **Les causes d'échec.** Parmi les seuls futurs ruinés, la forme de la trajectoire dit le mode de défaillance : krach précoce (richesse divisée par deux dans les dix premières années, la catastrophe de séquence), érosion lente (le portefeuille n'a jamais décollé, la décennie perdue), ou longévité (le plan a prospéré, culminé, et la retraite lui a survécu). Trois modes, trois parades différentes ([[glidepaths]] et buffer pour le premier, actifs de régime pour le deuxième, rentes pour le troisième [[rentes-et-annuites]]). C'est la vue qui transforme « 6 % de ruine » en diagnostic actionnable. ::: exemple Une lecture complète, en quatre regards Plan : 1,6 M€, 55 000 €/an avec guardrails, 48 ans d'horizon. Regard 1, les cônes des différents modèles côte à côte : formes semblables, mais le bas du cône du modèle mondial (broad-sample) s'enfonce nettement plus vite. L'incertitude dominante est donc épistémique, le monde compte plus que le hasard. Regard 2, le bas du cône central sur 10 ans : pente douce, un seul chemin rouge sur huit. L'exposition à la séquence est contenue, à ~10 % ou moins. Regard 3, l'éventail des dépenses : le 25e percentile passe 6 ans à −12 % du confort. C'est le prix réel des guardrails, jugé acceptable contre le plancher établi ([[combien-il-vous-faut]]). Regard 4, les causes : les échecs résiduels sont aux trois quarts des « érosions lentes ». La parade prioritaire n'est donc pas plus de cash, mais des briques anti-décennie-perdue ([[portefeuilles-tous-temps]]). Quatre regards, quatre décisions instruites. Voilà ce qu'un fan chart bien lu livre en deux minutes. ::: ## L'essentiel à retenir - Un fan chart est une pile de distributions par date, pas un faisceau de futurs : les bandes sont des quantiles ponctuels, les vraies trajectoires les traversent en zigzag ; la médiane n'est ni une trajectoire ni la moyenne. - La géométrie parle : évasement ≈ √t (plus = mémoire aggravante des retraits), médiane montante = plan sain, pente du bas de cône des 10 premières années = votre exposition à la séquence (voir les deux plans comparés). - Les chemins d'exemple sont à rangs réguliers : compter les rouges donne l'ordre de grandeur de la ruine d'un coup d'œil ; l'axe gagne à être écrêté (dix fois la mise, par exemple) pour garder le zéro lisible. - Les cinq erreurs : médiane-promesse, percentile-scénario, oubli du conditionnement au modèle (lisez d'abord l'écart entre cônes), illusion d'échelle, pixels pris pour des probabilités. - Les autres éventails complètent : dépenses servies (le vrai juge des règles flexibles), héritages (la ruine vue de l'autre bout), causes d'échec (le diagnostic qui choisit la parade). --- ## Pour aller plus loin - Bank of England, *Inflation Report fan charts* (la note méthodologique historique) : l'origine du format et de ses conventions. - Early Retirement Now, volet 46 (la fausse précision des sorties de simulation) ([[serie-ern]]). - Les cônes multi-modèles, les éventails de dépenses, d'héritages et de causes : [[utiliser-la-page-fire]] et [[la-machine-pofo]]. - La suite logique : [[pieges-des-simulateurs]] (les biais en amont du graphique) et [[quand-s-inquieter]] (le bon outil pour la question « où en suis-je sur ma trajectoire ? »).