Monte-Carlo : forces, faiblesses, bon usage

Derrière chaque probabilité de ruine, chaque cône de richesse, chaque « votre plan réussit dans 94 % des cas », il y a la même machine : la simulation de Monte-Carlo. Elle génère des milliers de futurs possibles, puis compte ce qui s'y passe. C'est l'outil central de la planification moderne, celui de tous les simulateurs sérieux. Il est magnifique, à condition de savoir ce qu'il fait vraiment. Il ne prédit pas l'avenir. Il déroule les conséquences de vos hypothèses, avec une rigueur qu'aucun calcul de coin de table n'atteint.

Cette page démonte la machine complètement. D'où vient la méthode et comment elle marche, pas à pas. Ce qu'elle fait mieux que ses alternatives, le rejeu historique, les formules fermées et l'intuition. Ses quatre faiblesses structurelles et leur gravité réelle. Enfin son mode d'emploi raisonné, celui qui sépare l'utilisateur qui instruit sa décision de celui qui se fait raconter une histoire par un générateur de nombres aléatoires. Deux articles prolongent celui-ci. Les familles de modèles qui alimentent la machine (Fenêtres historiques, bootstrap, paramétrique : trois familles de modèles), et les corrections qui la rendent pertinente (Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress)).

D'où ça vient, et comment ça marche exactement§

La méthode naît en 1946 à Los Alamos. Stanislaw Ulam, convalescent, joue aux réussites et se demande quelle fraction des parties est gagnable. Le calcul combinatoire exact est inextricable. L'idée lui vient de simplement jouer un grand nombre de parties, puis de compter. Avec von Neumann et Metropolis, l'idée devient méthode. Elle est baptisée du nom du casino où l'oncle d'Ulam perdait son argent, et elle résout les calculs de diffusion neutronique de la bombe. Le principe est général : quand un système est trop complexe pour une formule, on le fait tourner des milliers de fois et on regarde la distribution des issues.

Le problème du rentier est exactement de cette classe. Un plan de retrait est un système à mémoire. Le retrait de l'année 12 dépend du portefeuille de l'année 12, qui dépend de toute la séquence antérieure, des règles de dépense, du buffer, des impôts et de la pension qui démarre à l'année 15. Aucune formule fermée ne capture cela dès que le plan a un peu de réalisme. La simulation, si. Tous les simulateurs ne vont pas au même niveau de détail, mais les plus complets (pofo, TPAW Planner ou Portfolio Visualizer, par exemple) déroulent chaque trajectoire ainsi :

  1. Tirer une séquence de rendements réels pour tout l'horizon, dans le modèle de marché choisi : tirages indépendants dans une loi paramétrique, de préférence une Student-t (une loi en cloche cousine de la normale, mais à queues épaisses, où les années extrêmes restent bien plus fréquentes), blocs d'histoire pour un bootstrap, fenêtre réelle pour une cohorte historique, régimes de Markov pour un stress de séquence (Fenêtres historiques, bootstrap, paramétrique : trois familles de modèles).
  2. Dérouler l'année 1 : appliquer le rendement au portefeuille, calculer le retrait selon la règle active (fixe indexé, flex, guardrails, VPW, ABW..., avec la majoration fiscale sur chaque vente), consommer ou recharger le buffer selon ses règles, encaisser pension et revenus s'ils ont commencé.
  3. Répéter année après année jusqu'à la fin de l'horizon, ou jusqu'à l'épuisement (ruine, avec sa date).
  4. Noter tout : ruine ou pas, date de ruine, richesse finale, dépenses réellement servies chaque année, temps passé sous l'eau.

Puis recommencer quelques milliers de fois et compter. La fraction ruinée donne la probabilité de ruine. Les richesses année par année donnent le cône (Lire un fan chart et des percentiles sans se tromper). Les dépenses servies donnent la distribution du niveau de vie réellement vécu, et ainsi de suite. Il n'y a rien d'autre dans la boîte, juste de la comptabilité exacte appliquée à des futurs tirés au sort. (Le détail de cette boucle telle que pofo l'implémente est dans Sous le capot : comment pofo calcule ce livre.)

Ce que Monte-Carlo fait mieux que tout le reste§

Pour apprécier l'outil, comparons-le à ses trois concurrents.

Contre le rejeu historique pur (la méthode Bengen, Bengen, l'étude Trinity et la naissance du taux de retrait sûr). L'histoire américaine ne contient qu'une centaine d'années, et les fenêtres de 30 ans qu'on y découpe se recouvrent presque toutes : cela ne fait que trois ou quatre retraites réellement indépendantes. Le rejeu répond à « qu'aurait donné mon plan dans le passé ? ». Il ne peut, par construction, rien dire des futurs qui ne ressemblent à aucun passé. Et il traite le pire millésime historique comme une borne, alors que rien ne garantit que le pire soit déjà arrivé. Monte-Carlo génère, lui, des dizaines de milliers d'années synthétiques. Il explore l'espace des possibles autour des hypothèses, pas seulement le chemin réalisé. Les deux sont complémentaires. C'est pourquoi les bons simulateurs affichent les deux côte à côte.

Contre les formules fermées (l'espérance de ruine analytique, les règles empiriques). Les formules exigent des hypothèses irréalistes pour rester solubles : rendements normaux, retraits proportionnels, aucune règle. Dès qu'on ajoute un plancher de guardrails, une pension différée, un buffer avec sa règle de recharge et la fiscalité sur les ventes, seule la simulation suit. C'est sa force distinctive : la complexité du plan est gratuite. Ajouter une règle réaliste ne coûte que quelques lignes de code, jamais une approximation.

Contre l'intuition, enfin, et c'est le plus important. L'esprit humain est catastrophiquement mauvais pour composer de l'aléatoire sur 40 ans. Personne ne « sent » correctement ce que 11 % de volatilité font à un retrait de 3,8 % sur 45 ans, avec une pension qui tombe en année 16. La simulation, si, exactement. Son rôle psychologique est d'ailleurs symétrique. Elle dégrise les optimistes, car le cône contient des trajectoires ruinées même avec de « bonnes » hypothèses. Et elle rassure les anxieux, car la médiane d'un plan raisonnable est étonnamment opulente (La psychologie du retrait : pourquoi dépenser est si dur).

Les quatre faiblesses structurelles, et leur gravité réelle§

MONTE-CARLOCe qui déplace la ruine : les hypothèses, pas le nombre de tirages0246810probabilité de ruine (%)On bouge μ de ±0,5 point (un écart indétectable dans les données), à N = 10 000μ 4,5 %8,7 %μ 5,0 %5,9 %μ 5,5 %4,1 %×2,1 sur la ruineOn multiplie N par dix, à hypothèses figées (μ = 5,0 %)N 1 000± 1,5 ptN 4 000± 0,7 ptN 10 000± 0,5 pt1 M€, 32 k€/an réels (3,2 %), 35 ans, Student-t σ 11 %, df 5. Barres : erreur d'échantillonnage à 95 %.
Le même plan, avec un seul réglage modifié à chaque fois. En haut, on déplace μ d'un demi-point vers le haut puis vers le bas. La ruine passe de 4,1 % à 8,7 %, un facteur 2,1, alors qu'aucune série de données ne permet de trancher entre ces trois valeurs. En bas, on multiplie le nombre de trajectoires par dix, hypothèses figées. Le résultat ne bouge pas ; seule la barre d'incertitude se raccourcit, de ±1,5 point à 1 000 tirages à ±0,5 point à 10 000. Toute la précision utile est du côté des entrées.

Faiblesse 1 : garbage in, garbage out, avec effet de levier. La sortie est hypersensible aux entrées. Un écart de ±0,5 point sur μ, indétectable statistiquement (Les rendements attendus prospectifs), peut faire varier la ruine du simple au double. Le simulateur amplifie même la précision apparente : trois décimales de ruine, calculées sur un μ connu à ±1 point près. Gravité : maximale, mais entièrement gérable. La discipline des entrées (calibration prospective, blending, ancres) et la lecture en intervalle y répondent (La probabilité de ruine : la lire, la choisir, ne pas la subir). C'est la raison d'être de l'approche multi-modèles.

Faiblesse 2 : l'indépendance des tirages. Le Monte-Carlo naïf tire chaque année indépendamment de la précédente, à pile ou face, sans mémoire. Or les marchés réels ont de la mémoire. Les mauvaises années s'agglutinent, en récessions et en marchés baissiers de plusieurs années. Les valorisations créent des tendances décennales (Les valorisations (CAPE) et ce qu'elles disent du taux de retrait). La volatilité fait des grappes. La conséquence est précise. À mêmes moyenne et variance, le modèle i.i.d. sous-estime la probabilité des longues séquences médiocres, celles qui tuent les rentiers (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité). Il surestime aussi un peu la dispersion à très long terme, car les vrais marchés ont un retour vers la moyenne qui resserre les cônes à 30 ans. Gravité : réelle mais quantifiable, de l'ordre de quelques points de ruine. Les correctifs existent, et un bon simulateur en implémente trois : blocs, régimes de Markov et cohortes (Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress)).

Faiblesse 3 : la forme de la distribution. Beaucoup de simulateurs commerciaux tirent leurs rendements au hasard dans une loi normale. Elle assigne aux années catastrophiques (−35 % réel) des probabilités astronomiquement faibles, si bien que 2008 devient un événement « impossible ». Un Monte-Carlo gaussien est structurellement optimiste sur les queues. Gravité : sérieuse, mais elle se corrige bien. Il suffit de tirer dans une Student-t dont le df est ajusté sur le kurtosis des rendements observés (le kurtosis mesure l'épaisseur des queues d'une distribution : plus il est élevé, plus les années extrêmes sont fréquentes). Les catastrophes entrent alors dans le modèle lui-même au lieu de rester un angle mort (Queues épaisses, crises et Student-t). Vérifiez ce point avant de faire confiance à un outil : beaucoup ne documentent même pas leur loi de tirage (Les pièges des simulateurs).

Faiblesse 4 : ce qui n'est pas dans le modèle n'existe pas. Aucun tirage ne contient la confiscation, l'hyperinflation qui détruit la monnaie de référence (Hyperinflations et scénarios extrêmes), la fraude du courtier, le divorce ou la dépendance à 300 €/jour. Le modèle simule le risque de marché d'un plan aux paramètres constants. Les risques de la vie, eux, restent hors champ. Gravité : structurelle et incompressible. C'est pourquoi la sortie d'un simulateur ne remplace ni les marges (Les dix erreurs qui ruinent un plan FIRE), ni l'assurance, ni le pilotage en route (Quand s'inquiéter, quand laisser courir).

Le bon usage : huit règles de conduite§

Voici la synthèse pratique, forgée par la littérature (Kitces a beaucoup écrit sur le « bon usage du Monte-Carlo » côté conseillers).

1. Soignez les entrées dix fois plus que la lecture des sorties. Une heure sur le budget réel et la calibration de μ (Combien il vous faut, Les rendements attendus prospectifs) vaut plus que dix heures à contempler des cônes.

2. Ne lisez jamais un seul modèle. L'intervalle entre les modèles (central, stress de séquence, échantillon mondial, historique) est l'information. Un modèle seul n'est qu'une opinion (La probabilité de ruine : la lire, la choisir, ne pas la subir).

3. Lisez en ordinal. Comparer (plan A contre plan B, levier X contre levier Y) est la force de l'outil. Mesurer (« mon risque est 4,7 % ») est son point faible. Les écarts sont du signal, les décimales du bruit.

4. Utilisez-le en machine à « et si », pas en oracle. Sa vraie vocation. Et si je pars deux ans plus tôt ? Et si l'inflation ajoute 0,5 point aux dépenses ? Et si la pension est rabotée de 20 % ? Les meilleurs outils industrialisent cet usage par un solveur en « mouvements équivalents », qui convertit chaque marge en euros, en années ou en flexibilité.

5. Regardez les trajectoires, pas seulement les agrégats. Une probabilité résume. Les chemins d'exemple du cône (dont les rouges, échoués) montrent comment on échoue : vite par un krach précoce, ou lentement par érosion (Lire un fan chart et des percentiles sans se tromper). Le mode de défaillance dicte la parade, pas le taux d'échec.

6. Simulez vos règles réelles, pas la caricature rigide. Regardez ensuite le niveau de vie servi, pas seulement la survie. Une règle flexible « réussit » toujours au sens de la ruine. La vraie question devient ce qu'elle vous fait vivre (La flexibilité : mythe et réalité).

7. Re-simulez peu souvent. Le plan se re-simule à la revue annuelle (La revue annuelle : la check-list du rentier) ou sur événement, jamais chaque semaine. La sortie bouge avec les marchés, votre plan ne doit pas.

8. Décidez sur les scénarios pessimistes, vivez sur le central. Le plan doit être acceptable sous les modèles durs, l'échantillon mondial et le stress de séquence. Mais une fois la décision prise, c'est le scénario central qui décrit votre vie probable. Confondre les deux registres fabrique soit des imprudents, soit des anxieux perpétuels.

L'essentiel à retenir§

Pour aller plus loin§