Fenêtres historiques, bootstrap, paramétrique : trois familles de modèles

Un simulateur de retraite déroule des plans dans des futurs générés (Monte-Carlo : forces, faiblesses, bon usage). Toute la question est de savoir d'où viennent ces futurs. Il n'existe que trois grandes réponses, trois familles de modèles. On peut rejouer l'histoire telle quelle (les fenêtres historiques). On peut la rééchantillonner en la remélangeant (le bootstrap). On peut enfin générer des rendements synthétiques à partir de quelques paramètres (les modèles paramétriques).

Chaque famille répond en réalité à une question différente. Chacune a ses vertus et ses angles morts. Et quand leurs verdicts divergent sur un même plan, ce n'est pas une anomalie : c'est l'information la plus précieuse que vous obtiendrez. Cette page fait le tour complet des trois familles. Pour chacune, on verra la mécanique exacte, les choix d'implémentation qui comptent, ses forces et ses pièges. À la fin vient la grille de lecture combinée, qui dit quel modèle croire pour quelle question.

Famille 1 : les fenêtres historiques (rejeu, cohortes)§

La mécanique. C'est la méthode fondatrice de Bengen (Bengen, l'étude Trinity et la naissance du taux de retrait sûr). On prend la série réelle des rendements de votre portefeuille (ou d'un indice). Puis on déroule le plan à partir de chaque date de départ possible : la fenêtre janvier 1975 → décembre 2019, puis février 1975 → janvier 2020, et ainsi de suite. Chaque fenêtre est un « millésime », une cohorte. Le taux d'échec est la fraction des millésimes ruinés.

Les choix d'implémentation qui comptent. Le pas d'échantillonnage, d'abord. Prendre un départ par mois plutôt que par année multiplie les fenêtres par douze et préserve les enchaînements intra-annuels ; c'est la pratique de référence, celle d'ERN notamment (La série Safe Withdrawal Rate d'ERN : guide de lecture). L'honnêteté face à l'horizon, ensuite. Quand l'historique est plus court que le plan (20 ans de données pour 45 ans de retraite), aucune fenêtre complète n'existe et le taux d'échec n'est tout simplement pas calculable. Un outil sérieux le dit et refuse de répondre, plutôt que d'extrapoler en silence. La variante dirigée, enfin. Au lieu de dérouler toutes les dates de départ, on rejoue les pires : USA 1929, 1966, 2000, Japon 1990. Des millésimes réels choisis pour l'épreuve, et la version la plus parlante de la famille (Bengen, l'étude Trinity et la naissance du taux de retrait sûr).

Les forces. La fidélité absolue au réel. Les corrélations entre actifs, les grappes de crises, les enchaînements krach-inflation-reprise : tout y est, puisque rien n'est modélisé, tout est cité. C'est le seul modèle dont chaque trajectoire s'est réellement produite. D'où une vertu pédagogique inégalée (voir son plan traverser 1966 parle plus que mille probabilités) et un excellent détecteur de fragilité face aux régimes réels.

Les pièges. Ils sont trois, et sérieux. D'abord l'échantillon minuscule. Cent ans de données ne contiennent que trois ou quatre retraites longues indépendantes. Les fenêtres se chevauchent massivement : le krach de 2008 apparaît dans 350 fenêtres mensuelles. Le « taux d'échec » porte donc des barres d'erreur énormes, que son affichage ne montre pas. Ensuite le plafond du réalisé. Le pire du passé y est traité comme le pire absolu, alors que rien ne garantit que le pire soit derrière nous. Enfin le biais de la fenêtre disponible. L'historique de vos fonds couvre le plus souvent les décennies récentes, plutôt favorables. Les fenêtres historiques se lisent donc comme une borne optimiste, jamais comme le verdict.

Famille 2 : le bootstrap (rééchantillonnage par blocs)§

La mécanique. Le bootstrap répond au problème de l'échantillon minuscule. Plutôt que de rejouer l'histoire dans l'ordre, on la découpe et on tire au sort, avec remise, des morceaux qu'on recolle en histoires synthétiques. Tirer mois par mois détruirait les grappes et les tendances, car on retomberait sur de l'i.i.d. On tire donc des blocs de plusieurs années. La variante de référence est le bootstrap stationnaire (Politis-Romano, 1994) : des blocs de longueur aléatoire (une moyenne de 24 mois est un choix courant), ce qui évite les artefacts de coupe des blocs de taille fixe. Chaque trajectoire simulée est alors une histoire qui n'a jamais eu lieu, mais dont chaque morceau de deux ans, lui, a réellement eu lieu, avec ses corrélations internes et une bonne partie de sa mémoire.

Un même moteur, deux questions. Tout dépend du panel que l'on remélange. Appliqué à l'historique de vos propres fonds, sous vos poids courants, le bootstrap fabrique des milliers de variantes de ce que vos lignes ont réellement vécu. Appliqué à un panel long et multi-pays, il change de nature. C'est la méthode d'Anarkulova-Cederburg : rééchantillonner le siècle des pays développés (le panel académique Jorda-Schularick-Taylor couvre 16 pays de 1870 à 2020) en tirant chaque bloc à l'intérieur d'un même pays, pour que les grands désastres (1929, les années 1970, le Japon) survivent intacts dans les trajectoires, sur un portefeuille 60/40 domestique conforme à la littérature (Au-delà des États-Unis : Anarkulova, Cederburg et l'échantillon mondial). Même famille mathématique, deux questions différentes : « mes fonds, remélangés » contre « le siècle développé, remélangé ».

Les forces. Le meilleur compromis entre fidélité et diversité. On garde les corrélations et la mémoire courte du réel (via les blocs), et on obtient des milliers de trajectoires distinctes (via le remélange). Le broad-sample y ajoute la profondeur, avec des régimes que l'historique de vos fonds n'a jamais vus. C'est la famille que la recherche moderne préfère pour estimer le risque de long horizon, et c'est celle d'Anarkulova-Cederburg.

Les pièges. La mémoire au-delà du bloc est détruite. Un marché baissier de sept ans ne peut pas naître d'un tirage de blocs de deux ans, sauf par malchance de tirages sombres consécutifs. Le retour des valorisations vers leur moyenne, étalé sur plusieurs décennies (Les valorisations (CAPE) et ce qu'elles disent du taux de retrait) disparaît lui aussi. Les ingrédients, ensuite, restent ceux du passé disponible : le bootstrap remélange, il n'invente rien. Appliqué au seul historique de vos fonds, il hérite du biais de fenêtre de la famille 1 : la diversité des tirages ne corrige pas la pauvreté des ingrédients. Enfin, le choix de la longueur de bloc est un vrai paramètre. Trop court, on tue les grappes ; trop long, on retombe dans le rejeu et son échantillon pauvre. Les 24 mois moyens suivent la pratique de la littérature : assez long pour contenir une récession type, assez court pour diversifier.

Famille 3 : le paramétrique (Student-t, et les régimes)§

La mécanique. On abandonne les données brutes. On décrit le monde par quelques paramètres, et on tire dedans. La version la plus simple est l'i.i.d. gaussien (moyenne, volatilité, tirages annuels indépendants), celle de la plupart des simulateurs commerciaux. Elle a deux défauts corrigibles : des queues trop fines et aucune mémoire. Un paramétrique sérieux corrige le premier en tirant dans une Student-t à trois paramètres : μ (la moyenne), σ (la volatilité) et df (l'épaisseur des queues). À df 5, l'année à −30 % réel est environ dix fois plus probable qu'en loi normale (Queues épaisses, crises et Student-t). Les meilleurs outils tirent au pas mensuel puis composent en années, ajustent les trois paramètres sur les données de vos fonds, et les mélangent vers un prior mondial prudent quand l'horizon dépasse l'historique (Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress)).

Le second défaut, l'absence de mémoire, donne naissance à la sous-famille des modèles à régimes, paramétriques mais séquencés. Une chaîne de Markov alterne des états « normal » et « baissier », avec des probabilités de transition qui rendent ces marchés baissiers persistants : y entrer est rare, y rester est probable, et les mauvaises années arrivent en grappes de trois ans environ. C'est le principe d'un stress de séquence. Bien construit, il garde la même moyenne de long terme que le modèle central : le stress mesure le risque d'ordre, pas un pessimisme caché sur le niveau. Seule la volatilité est concentrée en épisodes. Sa variante extrême est la décennie perdue : un marché baissier de type Japon 1990, long et profond, délibérément non compensé (la moyenne est tirée vers le bas). C'est un scénario de queue à survivre, pas une espérance.

Les forces. La transparence et le contrôle d'abord : trois nombres explicites, pas de boîte noire. On peut y brancher les espérances prospectives (Les rendements attendus prospectifs) ou l'ancre CAPE (Les valorisations (CAPE) et ce qu'elles disent du taux de retrait), et tester « et si σ montait de deux points ». La généralité ensuite : le paramétrique explore des mondes que l'histoire n'a pas produits, ce que ni le rejeu ni le bootstrap ne savent faire. L'isolation des causes enfin : la paire central/stress, identique en tout sauf l'ordre des années, mesure le prix de la séquence dans votre plan (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité). Aucune autre famille ne permet cette expérience contrôlée.

Les pièges. Ils sont le miroir des forces. Tout repose sur trois nombres que personne ne connaît, et la sensibilité aux entrées de Monte-Carlo : forces, faiblesses, bon usage est ici maximale. La structure choisie (i.i.d., ou Markov à deux états) reste une caricature du réel : pas de retour des valorisations vers leur moyenne, pas de corrélation stochastique entre actifs (le portefeuille est agrégé avant tirage), et une inflation implicite (tout est en réel). Le paramétrique est un instrument de laboratoire : parfait pour les expériences contrôlées, à ne jamais confondre avec le monde.

Les trois familles chez les simulateurs courants§

Ce repérage change la façon d'utiliser n'importe quel outil, car un verdict ne se lit qu'en sachant quelle famille l'a produit. L'inventaire qui suit décrit les modèles mis en œuvre par les simulateurs les plus utilisés, tels que leur documentation les présente au moment où ce livre s'écrit (les outils évoluent, vérifiez la leur). C'est un inventaire, pas un classement. Un outil mono-famille excellent rend plus de services qu'un fourre-tout, et une famille absente signale un choix de conception, pas un défaut. Une transparence est due au lecteur : pofo accompagne ce livre et son auteur n'est pas neutre à son sujet, raison de plus pour croiser ses verdicts avec un outil indépendant.

Trois remarques pour se servir de ce tableau. D'abord, identifiez la famille avant de lire le verdict. Un outil purement famille 1 sur données américaines rend la borne optimiste du faisceau, ni plus ni moins, et c'est déjà beaucoup. Ensuite, rappelez-vous que les paramètres μ, σ et df ne pilotent que la famille 3 ; les modèles de données les ignorent, et un réglage qui « ne fait rien » n'est pas un bug. Enfin, le faisceau multi-modèles se reconstitue très bien à la main : le même plan saisi dans deux outils de familles différentes vaut un tableau de bord. Notez au passage que tous les rejoueurs cités travaillent sur l'histoire américaine ; le siècle multi-pays reste, à ce jour, la denrée rare de l'inventaire.

La grille de lecture combinée§

Reste la vraie question : que faire quand les familles sont en désaccord, ce qui est le cas normal ? Voici la grille, cas de désaccord par cas de désaccord.

Historique et bootstrap optimistes, paramétrique central plus dur. C'est le cas le plus courant : vos fonds ont vécu une bonne fenêtre, et le mélange vers le prior tire le central vers le bas. La lecture : l'écart mesure le biais de votre fenêtre historique. Croyez plutôt le central, dimensionnez dessus, et gardez les modèles historiques comme scénario « le monde continue comme je l'ai connu ».

Central acceptable, stress de séquence nettement pire. Votre plan est exposé à l'ordre des rendements : retrait initial élevé, peu de flexibilité, pas de revenus précoces. Ce n'est pas un problème de niveau d'espérance, mais de structure. Les parades sont celles de la table anti-séquence (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité) : flexibilité écrite, coussin de sécurité (buffer), glidepath, revenus des premières années.

Tout va bien sauf le broad-sample. Votre plan tient dans le monde de vos hypothèses, mais pas dans le siècle développé complet. La lecture : regardez où échouent les trajectoires broad-sample. C'est presque toujours dans les blocs d'inflation persistante et les décrochages nationaux. Les réponses sont la diversification internationale et les actifs de régime (Au-delà des États-Unis : Anarkulova, Cederburg et l'échantillon mondial, Les portefeuilles tous-temps : Browne, All-Weather, Golden Butterfly, Dragon), pas forcément plus de capital.

Même la décennie perdue passe. Votre plan est surdimensionné. La question n'est plus la ruine, mais le coût d'opportunité : des années de travail en trop, un capital qui mourra intact (Le syndrome de l'année de plus, Les dépenses réelles en retraite (retirement smile, Die With Zero)).

La règle de synthèse, déjà donnée mais qui prend ici tout son sens : planifiez entre le central et le broad-sample, testez l'ordre avec le stress, éprouvez le plan avec la décennie perdue, et gardez les modèles historiques comme borne optimiste et comme pédagogie. Quatre familles de futurs, une seule décision.

L'essentiel à retenir§

• Trois familles : rejouer (fenêtres/cohortes), remélanger (bootstrap par blocs, dont le broad-sample sur le siècle des 16 pays), générer (paramétrique Student-t, et ses variantes à régimes pour la mémoire).
• Chacune répond à une autre question, et leurs pièges sont complémentaires : échantillon minuscule et plafond du réalisé (1), mémoire tronquée au bloc et ingrédients du passé (2), sensibilité aux entrées et structure caricaturale (3).
• Les paramètres μ/σ/df ne pilotent que la famille paramétrique ; les modèles de données les ignorent. Sachez toujours quelle famille vous regardez.
• Les désaccords entre familles sont le vrai résultat : biais de fenêtre, exposition à l'ordre, vulnérabilité de régime, surdimensionnement. Chaque motif de désaccord a son diagnostic et sa parade.
• Synthèse de décision : dimensionner entre central et broad-sample, tester l'ordre au stress, éprouver le plan à la décennie perdue, garder l'historique comme borne optimiste et comme leçon de choses.

Pour aller plus loin§

• Politis & Romano, « The Stationary Bootstrap » (1994) : la méthode de référence des blocs de longueur aléatoire.
• Anarkulova, Cederburg, O'Doherty & Sias (2023) : le bootstrap par blocs appliqué au siècle développé, la référence du modèle broad-sample (Au-delà des États-Unis : Anarkulova, Cederburg et l'échantillon mondial).
• Early Retirement Now, volet 8 : la méthode du rejeu mensuel systématique (La série Safe Withdrawal Rate d'ERN : guide de lecture).
• Dans ce livre : Queues épaisses, crises et Student-t (le choix Student-t en détail), Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress) (mélange et ancres du modèle central), Sous le capot : comment pofo calcule ce livre (l'implémentation exacte de chacun de ces modèles dans pofo).