Lire un fan chart et des percentiles sans se tromper

Le graphique le plus dense de toute la planification de retraite est le cône de richesse, le « fan chart » : des milliers de trajectoires simulées résumées en bandes de percentiles qui s'évasent avec le temps, quelques chemins d'exemple, une ligne de zéro. C'est aussi le graphique le plus mal lu. On y voit des promesses là où il y a des fréquences, des scénarios là où il y a des quantiles ponctuels, et de l'incertitude du monde là où il y a parfois surtout l'incertitude du modèle.

Or ce graphique est au cœur de tous les simulateurs FIRE sérieux (pofo, FICalc, cFIREsim, Portfolio Visualizer), et les mêmes conventions se retrouvent partout : la Banque d'Angleterre, qui a popularisé le format pour ses prévisions d'inflation, les projections climatiques du GIEC, toute la statistique prévisionnelle. Cette page apprend à le lire en professionnel, un vrai cône sous les yeux. Au programme : son anatomie exacte, pourquoi il a la forme qu'il a (chaque trait de sa géométrie est un fait de probabilité), les cinq erreurs de lecture classiques et leur correction, enfin les autres éventails qui complètent le cône de richesse.

Après cette page, un cône se lira comme une phrase.

Anatomie d'un cône§

ruine (le zéro)médianeprospèrefinit ruiné5-95 %25-75 %0153045années de retraite →× capital de départUne pile de distributions par date, pas un faisceau de chemins
Un plan à 45 ans d'horizon. Les bandes emboîtées sont des quantiles par date (25-75 %, 5-95 %), pas des scénarios. La médiane monte. Et les deux chemins d'exemple traversent les bandes : celui qui finit ruiné est parti par le haut, preuve qu'une bande n'est pas une trajectoire.

Prenons le cône ci-dessus, élément par élément.

Les bandes emboîtées. Du plus foncé au plus clair, elles couvrent des intervalles de percentiles croissants autour de la médiane : ici la moitié centrale des futurs (25-75) et la quasi-totalité (5-95). À chaque date, on a trié les milliers de richesses simulées et tracé les quantiles ; la bande n'est donc pas un « scénario prudent » ou « optimiste », c'est une statistique d'ensemble, recalculée indépendamment à chaque pas de temps.

La ligne médiane. C'est le 50e percentile : à chaque date, la moitié des futurs sont au-dessus, la moitié en dessous. Deux subtilités. D'abord, la médiane n'est pas une trajectoire, car aucun futur ne la longe ; y rester exigerait un miracle de régularité. Ensuite, elle n'est pas non plus la moyenne. Les distributions de richesse composée sont très asymétriques, bornées à zéro en bas et illimitées en haut, si bien que la moyenne est tirée vers le haut par les scénarios opulents. Quand un vendeur dit « en moyenne, vous finirez avec 4 M€ », il cite souvent la moyenne parce qu'elle flatte ; la médiane, elle, donne la bonne intuition de « ce qui vous arrivera plausiblement ».

Les chemins d'exemple. Les deux trajectoires fines de la figure (verte et rouge) sont des futurs individuels, tracés pour une seule raison : montrer qu'un chemin réel traverse les bandes au lieu d'en longer une. La verte prospère en zigzaguant ; la rouge part dans le peloton (elle passe même au-dessus de la médiane les premières années) puis s'effondre jusqu'à la ruine.

Un bon graphique en trace davantage, huit par exemple, selon une règle qui permet un diagnostic d'un coup d'œil. On trie toutes les trajectoires simulées par leur richesse finale, puis on en prélève huit à rangs régulièrement espacés, de la pire à la meilleure. Elles jalonnent la distribution des issues, autour des percentiles 0, 14, 29... 86, 100 de richesse finale (huit points, sept intervalles, soit des pas d'environ 14 %, et non 12,5). Chaque chemin est colorié en rouge s'il a touché zéro à un moment de sa vie. Or les trajectoires ruinées sont exactement celles de plus faible richesse finale. Les rouges sont donc toujours les chemins du bas du classement. D'où le raccourci : compter les rouges situe la ruine. Un seul rouge sur huit, et seule la pire tranche a fait faillite : la ruine reste sous ~14 %. Deux rouges, et l'on monte jusqu'à ~29 % environ. Trois rouges, c'est autour d'un futur sur quatre. Pas besoin de lire un chiffre, le nombre de traits rouges donne l'ordre de grandeur.

La ligne de zéro et l'écrêtage du haut. Le zéro est la seule frontière absolue du graphique : la ruine (La probabilité de ruine : la lire, la choisir, ne pas la subir). L'axe vertical, lui, gagne à être écrêté, par exemple à dix fois le capital initial. Sans cela, les scénarios composés à 30-40 ans, qui peuvent atteindre 20-50 fois la mise, écraseraient visuellement la zone du zéro, celle qui motive pourtant tout l'exercice. C'est un choix de représentation assumé : on sacrifie le spectacle de la queue haute pour garder lisible la queue basse, celle qui décide.

Pourquoi le cône a cette forme§

Chaque trait géométrique du cône est un théorème déguisé ; les connaître, c'est savoir diagnostiquer un plan d'un regard.

Il s'évase, et de plus en plus lentement. Pour des rendements sans mémoire, l'incertitude cumulée croît comme la racine du temps (√t). Le cône s'élargit donc vite au début, puis de moins en moins. Un cône qui s'évase plus que √t signale une mémoire aggravante : ce sont les retraits, car un début raté creuse un écart que les prélèvements fixes amplifient ensuite. Les vrais marchés, eux, avec leur léger retour des valorisations vers leur moyenne, s'évasent un peu moins à très long terme. C'est l'une des raisons pour lesquelles les modèles i.i.d. sur-dispersent légèrement l'horizon lointain (Monte-Carlo : forces, faiblesses, bon usage).

La médiane d'un plan sain monte. À un retrait de 3-3,5 % et un rendement réel espéré supérieur (Les rendements attendus prospectifs), le scénario central croît plus vite qu'on ne ponctionne : la médiane à 30 ans dépasse souvent le double du capital initial en termes réels. Voir en même temps une médiane opulente et des chemins rouges n'est pas une contradiction. C'est la définition même d'un plan de retrait, dont l'asymétrie (médiane riche, queue basse ruinée) est irréductible (Horizon, espérance de vie et retraites de 50 ans explique pourquoi survivre aux 30 premières années suffit presque toujours).

Le bas du cône plonge d'abord, ou pas. C'est le trait le plus utile à lire, et il vaut d'être vu sur deux plans côte à côte.

Plan défendule bas s'enfonce lentement0153045Plan tendule 5e percentile pique à zéro0153045années → (la pente du bas, sur la première décennie, est l'exposition à la séquence)Le bas du cône, dans les dix premières années, décide
Deux plans, même horizon. À gauche, un plan défendu (buffer, flexibilité, revenus précoces) : le 5e percentile s'enfonce lentement et reste positif. À droite, un plan tendu sans marges : le 5e percentile pique vers zéro dès la première décennie. La pente du bas du cône sur ces dix premières années est votre exposition au risque de séquence.

Regardez le 5e percentile des dix premières années (la ligne colorée du bas sur chaque cône). C'est la fenêtre fragile rendue visible (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité). Un plan bien défendu montre un bas de cône qui s'enfonce lentement puis se redresse ; un plan à retrait tendu sans marges montre un 5e percentile qui pique vers zéro dès les années 5-10. Deux cônes de largeur comparable peuvent ainsi cacher des expositions opposées : tout est dans la pente du bas au début.

Les cinq erreurs de lecture, et leur correction§

Erreur 1 : lire la médiane comme une promesse. « Le simulateur dit que j'aurai 2,8 M€ à 75 ans. » Non. Il dit que la moitié des futurs simulés dépassent ce montant si les hypothèses tiennent. Correction : la médiane sert à comparer des plans entre eux et à calibrer les décisions de type legs/dépenses (Les dépenses réelles en retraite (retirement smile, Die With Zero)) ; les décisions de sécurité se prennent sur le bas du cône et la ruine.

Erreur 2 : choisir sa bande comme on choisit un menu. « Je planifie sur le 25e percentile, c'est prudent. » Le percentile ponctuel n'est pas un scénario vivable (la percentile path fallacy ci-dessus) ; et la prudence par percentile est incohérente dans le temps. Correction : la prudence se règle par les modèles (planifier entre un central honnête et un modèle pessimiste, Fenêtres historiques, bootstrap, paramétrique : trois familles de modèles) et par le seuil de ruine acceptable, pas en se promenant dans les bandes.

Erreur 3 : oublier que le cône est conditionnel au modèle. Le cône d'un modèle paramétrique central et celui d'un rejeu historique dur sont deux objets différents pour le même plan. L'écart entre ces cônes mesure l'incertitude épistémique, celle du monde inconnu : on ne sait pas lequel est le bon. Il dépasse souvent la largeur d'un seul cône, qui ne mesure, elle, que l'incertitude aléatoire, le hasard dans un monde donné. Les meilleurs simulateurs affichent donc plusieurs cônes, un par modèle de marché, à la même échelle. Quand ces cônes se ressemblent, le plan est robuste au choix de modèle. Quand ils divergent, cet écart est le vrai risque, et la décision se prend sous les modèles durs. Correction : lisez d'abord la différence entre les cônes, ensuite la forme de chacun.

Erreur 4 : l'illusion d'échelle. Un axe linéaire écrase visuellement les premières années (là où tout se joue) et dramatise les dernières ; un axe logarithmique ferait l'inverse et rendrait le zéro... impossible à tracer (log 0 = −∞). Le compromis courant est un axe linéaire écrêté (voir l'anatomie), qui garde le zéro et la lisibilité du début. Correction : quel que soit l'outil, demandez-vous toujours ce que l'échelle choisie amplifie et ce qu'elle cache, et cherchez la ligne de zéro avant tout.

Erreur 5 : compter les pixels plutôt que les probabilités. La surface visuelle de la zone « ruine » dépend du nombre de chemins tracés, de l'épaisseur des traits, de l'écrêtage : rien de tout cela n'est une probabilité. Correction : le cône donne la forme du risque (quand, comment, avec quelle brutalité) ; les chiffres viennent de la probabilité de ruine et du tableau de résultats. Les deux se lisent ensemble, jamais l'un pour l'autre.

Au-delà de la richesse : les autres éventails§

Le format « distribution par date » sert trois autres lectures dans les simulateurs qui les proposent, chacune répondant à une question que le cône de richesse ne traite pas.

L'éventail des dépenses servies. Dès que votre plan a une règle flexible (guardrails, VPW, ABW, Panorama des stratégies de retrait : la carte avant le territoire), la richesse ne suffit plus : la question devient « que vais-je vivre ? ». Un éventail du niveau de vie année par année montre son propre bas de cône : le train de vie du mauvais quart des futurs, pendant combien d'années, financé par quoi (portefeuille, pension, buffer). C'est la vue qui départage les règles de retrait : une règle qui « réussit toujours » avec un 10e percentile de dépenses à −35 % pendant douze ans n'a pas éliminé le risque, elle l'a déplacé de la faillite vers la vie (La flexibilité : mythe et réalité).

La distribution des héritages. La coupe finale du cône de richesse, présentée en histogramme : combien reste-t-il au bout, dans tous les futurs ? La lecture type d'un plan sain choque toujours un peu. La masse est loin au-dessus du capital initial, car on meurt le plus souvent riche (Le syndrome de l'année de plus, Les dépenses réelles en retraite (retirement smile, Die With Zero)), avec une petite barre à zéro : la ruine, vue de l'autre bout.

Les causes d'échec. Parmi les seuls futurs ruinés, la forme de la trajectoire dit le mode de défaillance : krach précoce (richesse divisée par deux dans les dix premières années, la catastrophe de séquence), érosion lente (le portefeuille n'a jamais décollé, la décennie perdue), ou longévité (le plan a prospéré, culminé, et la retraite lui a survécu). Trois modes, trois parades différentes (Les glidepaths : bond tent, rising equity et la fenêtre fragile et buffer pour le premier, actifs de régime pour le deuxième, rentes pour le troisième Rentes et safety first : acheter un plancher). C'est la vue qui transforme « 6 % de ruine » en diagnostic actionnable.

L'essentiel à retenir§

Pour aller plus loin§