Queues épaisses, crises et Student-t

Le 19 octobre 1987, le marché américain a perdu 20 % en une séance. Sous la loi normale calibrée sur la volatilité de l'époque, cet événement était à plus de vingt écarts-types : une probabilité si faible que l'univers entier n'aurait pas dû suffire à le produire une fois.

Il s'est pourtant produit. Et 2008, 2020, 1929, 1973 racontent la même histoire à l'échelle annuelle : les marchés font des extrêmes bien plus souvent que la courbe en cloche ne le permet. C'est ce qu'on appelle les queues épaisses (fat tails). Pour un rentier, ce n'est pas une curiosité statistique. La ruine d'un plan de retraite vit précisément dans les queues, là où la loi normale ne regarde pas.

Cette page déroule le sujet. D'abord le phénomène : d'où viennent les queues et comment on les mesure. Ensuite l'outil standard pour les modéliser, la distribution de Student-t et son paramètre df. Puis ce que les queues changent concrètement à un plan de retrait. Enfin les limites honnêtes de cette modélisation. À la fin, le paramètre df ne sera plus un réglage ésotérique. Il sera ce qu'il est : le nombre qui décide à quelle fréquence votre simulateur a le droit de produire 2008.

Pourquoi la loi normale séduit, et où elle casse§

La loi normale n'est pas une naïveté. C'est la conséquence du théorème central limite, qui veut que la somme de nombreux petits effets indépendants tende vers une gaussienne. Si les rendements étaient la somme de milliers de petites nouvelles indépendantes, ils seraient normaux. Et de fait, au centre de la distribution, ils le sont presque : les années ordinaires (−10 % à +20 %) suivent à peu près la cloche.

Le problème est aux extrêmes, et il est massif. La mesure standard est le kurtosis, ou coefficient d'aplatissement. La loi normale a un kurtosis de 3. Les rendements mensuels des actions affichent typiquement 6 à 12, les quotidiens bien davantage. Autrement dit, les mois et les années extrêmes sont plusieurs fois trop fréquents pour la cloche.

La raison profonde tient en deux mécanismes qui violent les hypothèses du théorème central limite. Le premier : les effets ne sont pas indépendants. La volatilité fait des grappes, une grosse variation en annonce d'autres. C'est le « volatility clustering » que modélisent les GARCH. Les extrêmes s'auto-alimentent alors, entre paniques, appels de marge et ventes forcées, chacun vendant parce que l'autre vend. Le second : le marché change de régime. La distribution des rendements d'un marché calme et celle d'une crise ne sont pas la même loi. Or mélanger deux gaussiennes de volatilités différentes produit mécaniquement une distribution à queues épaisses.

Les queues ne sont donc pas une bizarrerie. Elles sont la signature statistique d'un fait : les marchés forment un système social à rétroactions, pas une urne (Les régimes de marché : croissance × inflation, sticky bears).

Un fait rassurant : l'épaisseur des queues diminue avec l'horizon d'agrégation. Les rendements quotidiens sont sauvagement non gaussiens. Les mensuels le sont nettement moins, les annuels encore moins, car agréger douze mois lisse une partie des extrêmes. Et les rendements à dix ans sont presque fréquentables. Pour un plan de retraite, ce sont les échelles mensuelle et annuelle qui comptent, au rythme des retraits. À ces échelles, les queues restent bien réelles. C'est là que le modèle travaille.

La Student-t et le paramètre df, en clair§

Il existe une famille de distributions faite exactement pour ce problème, la Student-t. C'est une cloche à trois paramètres : le centre μ, l'échelle (liée à σ) et les degrés de liberté df, qui règlent l'épaisseur des queues. À df infini, la Student-t se confond avec la loi normale. À mesure que df descend, le centre change à peine mais les queues s'alourdissent. Sous df ≈ 4, elles deviennent véritablement sauvages. C'est le socle du modèle central des simulateurs sérieux : des tirages mensuels Student-t, composés en années (Fenêtres historiques, bootstrap, paramétrique : trois familles de modèles).

Ce que df change concrètement, à volatilité annuelle identique (σ = 12 %, μ = 4 % réel ; ordres de grandeur d'une année « catastrophique » à −30 % réel, soit un événement à presque 3 écarts-types) :

Comparez la ligne df 5 à la ligne df 30 : le même σ, et un facteur dix sur la fréquence des catastrophes. Voilà pourquoi deux simulateurs affichant « 12 % de volatilité » peuvent rendre des verdicts sans rapport. Tout est dans la loi des queues, que la plupart des outils commerciaux ne documentent même pas ; ils sont gaussiens sans le dire (Les pièges des simulateurs).

D'où vient la valeur de df ? Elle ne se devine pas, elle s'estime sur les données. La méthode tient en deux gestes. On mesure d'abord le kurtosis des rendements mensuels du portefeuille. On inverse ensuite la relation théorique de la Student-t, kurtosis ≈ 3 + 6/(df − 4), pour en déduire le df correspondant. Des mois à kurtosis 7-9 donnent ainsi df ≈ 5-6. Des fonds actions classiques ressortent vers df 4-6, tandis qu'un portefeuille très diversifié, avec des poches défensives, peut remonter vers 8-12. Un outil qui sait lire l'historique de vos lignes fait ce calcul pour vous, et laisse la valeur modifiable pour les tests de sensibilité. Un df de 5 n'est donc pas une opinion prudente. C'est la valeur qui ressort des données mensuelles réelles de la plupart des portefeuilles d'actions mondiales.

Ce que les queues changent à un plan de retrait§

Passons du modèle au plan. L'effet des queues épaisses sur un plan de retrait a une structure précise, et la comprendre évite deux contresens symétriques.

Premier effet, direct : la ruine monte, la médiane ne bouge presque pas. Passer de df 30 à df 5, à σ constant, laisse le scénario médian quasi identique, car les années ordinaires n'ont pas changé. Mais la probabilité de ruine gonfle, typiquement de 30 à 80 % en relatif selon le plan. Une ruine gaussienne de 4 % devient ainsi 6-7 % en df 5. Les queues ne changent pas votre vie probable. Elles changent la fréquence des vies improbables, justement celles contre lesquelles on planifie (La probabilité de ruine : la lire, la choisir, ne pas la subir).

Deuxième effet, plus subtil : l'interaction avec la séquence. Une année à −30 % n'a pas le même prix selon sa date. En année 2, elle ampute définitivement le plan (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité). En année 30, elle est cosmétique. Les queues épaisses augmentent la probabilité que la fenêtre fragile contienne une catastrophe. C'est le produit des deux risques qui fait le danger. Corollaire pratique : les protections de la fenêtre fragile (glidepath, buffer, revenus précoces) sont aussi les meilleures protections anti-queues, sans rien ajouter (Les glidepaths : bond tent, rising equity et la fenêtre fragile, Le matelas de liquidités : taille, coût, vrai rôle).

Troisième effet : la diversification promet moins qu'annoncé. L'argument gaussien de la diversification (les corrélations moyennes réduisent σ) sous-estime un fait des crises : dans la queue, les corrélations montent. En 2008, tout a baissé ensemble, sauf les obligations d'État longues et le yen. La diversification fonctionne, mais elle fonctionne moins bien précisément dans les scénarios pour lesquels on l'achète. Sauf à inclure des actifs dont la décorrélation survit aux crises : la duration d'État, l'or, les managed futures systématiques (Les actifs défensifs : panorama et rôles, Managed futures et suivi de tendance, Les portefeuilles tous-temps : Browne, All-Weather, Golden Butterfly, Dragon). Le kurtosis d'un portefeuille se réduit donc par le choix des briques plus que par leur nombre.

Restent deux contresens à éviter. Le contresens optimiste dit : « la médiane ne bouge pas, donc les queues sont un détail. » Non : la planification de retraite est une gestion de queue. Le taux de retrait sûr est défini par les pires cas, pas par la médiane (Bengen, l'étude Trinity et la naissance du taux de retrait sûr). Le contresens catastrophiste dit : « alors mettons df 3 partout et n'en parlons plus. » Non plus. Empiler df 3 sur une moyenne déjà prudente et une ancre CAPE, c'est le triple comptage de la prudence déjà dénoncé (Les rendements attendus prospectifs). Et un monde df 3 permanent n'est pas le monde réel non plus. La calibration sur données (le fit), plus un test de sensibilité, vaut mieux que ces deux postures.

Un peu d'histoire des idées, pour finir de s'en convaincre§

L'histoire mérite d'être connue, car elle vaccine contre les modèles trop propres. Dès 1900, Bachelier fonde la finance mathématique sur le mouvement brownien gaussien. En 1963, Benoît Mandelbrot étudie les prix du coton. Il montre que les queues sont si épaisses que la variance semble à peine définie, et propose des lois « stables » sauvages. Eugene Fama (1965) le confirme sur les actions. La profession, elle, a besoin de modèles calculables. Elle choisit donc un moyen terme pragmatique : conserver la variance, mais épaissir les queues (Student-t, mélanges, GARCH). Praetz (1972) puis Blattberg et Gonedes (1974) établissent que la Student-t colle remarquablement aux rendements. Les crises de 1987, 1998, 2008 et 2020 ont tranché le débat culturel. LTCM, en 1998, est d'ailleurs tombé précisément pour avoir fait confiance à des queues fines. L'expression « fat tails » est passée du statut d'hérésie mandelbrotienne à celui de fait de base, popularisé par Taleb (The Black Swan). La modélisation qui s'est imposée dans les simulateurs de décumulation (Student-t ajustée, plus des régimes pour la séquence) est l'héritière directe de ce compromis : plus honnête que la gaussienne, plus sobre que les lois stables, et calibrable sur vos données.

L'essentiel à retenir§

• Les marchés produisent des extrêmes bien plus souvent que la loi normale : kurtosis mensuel 6-12 contre 3 ; c'est la signature des grappes de volatilité et des changements de régime, pas un accident.
• La Student-t ajoute le paramètre manquant : df, l'épaisseur des queues. À σ identique, df 5 rend l'année à −30 % réel ~10 fois plus probable que df 30. Ce df s'estime en inversant la relation kurtosis ≈ 3 + 6/(df − 4) sur les rendements mensuels de vos fonds, ce qui donne typiquement 4-6.
• Effet sur le plan : la médiane ne bouge pas, la ruine monte, souvent de +30 à +80 % en relatif. Les queues aggravent surtout la fenêtre fragile, et les protections anti-séquence sont aussi les protections anti-queues.
• Limites du modèle : symétrique (le vrai risque a un skew négatif, couvert par les stress de séquence et la décennie perdue) et sans mémoire (couvert par les régimes). La diversification protège moins dans la queue, sauf les briques dont la décorrélation survit aux crises.
• Réflexe pratique : gardez le df estimé sur vos données, faites une fois le test 3/30 pour connaître votre exposition, et si la décision bascule, réparez par la structure du plan, pas par le paramètre.

Pour aller plus loin§

• Mandelbrot, « The Variation of Certain Speculative Prices » (1963) et The (Mis)Behavior of Markets (2004) : l'acte fondateur et sa version grand public.
• Fama, « The Behavior of Stock-Market Prices » (1965) ; Blattberg & Gonedes (1974) sur la Student-t : la confirmation académique.
• Taleb, The Black Swan (2007) : la culture générale des queues, à lire d'un œil critique.
• L'estimation du df et son usage exact dans pofo : Sous le capot : comment pofo calcule ce livre, et Utiliser le simulateur FIRE de pofo pour le mode d'emploi.
• La suite dans ce livre : Les régimes de marché : croissance × inflation, sticky bears (d'où viennent les grappes) et Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress) (comment queues et régimes se combinent dans le modèle central).