Décider sous incertitude : utilité, Kelly, regret

Ce livre passe beaucoup de temps à répondre à des questions du type « quelle stratégie maximise le taux de retrait » ou « quelle allocation minimise la ruine ». Cet article prend un cran de recul et pose la question d'avant : qu'est-ce qu'une bonne décision quand l'avenir est incertain ? Car le rentier a un problème que les moyennes ignorent : il ne vit qu'une seule trajectoire. Le simulateur en tire dix mille, la vie en tire une, sans nouvelle partie. Maximiser une espérance calculée sur dix mille mondes n'est pas automatiquement le bon objectif pour quelqu'un qui n'en habitera qu'un.

La théorie de la décision réunit un siècle de travaux, entre économie, mathématiques et psychologie. Elle répond précisément à cette question. Vous verrez d'abord pourquoi l'espérance de gain est un mauvais critère, ce que corrige la notion d'utilité. Puis comment comparer deux plans risqués en un seul chiffre honnête, l'équivalent certain. Ensuite pourquoi le critère de Kelly, si séduisant, ne s'applique pas tel quel à une retraite. Enfin ce que valent le regret et la robustesse comme critères d'adulte, et comment tout cela se condense en un protocole de cinq règles. C'est l'article le plus conceptuel du livre, et peut-être le plus rentable. Les erreurs de critère coûtent plus cher que les erreurs de calcul.

L'utilité : pourquoi la moyenne est un mauvais juge§

Le point de départ classique est un paradoxe posé en 1713, celui de Saint-Pétersbourg. C'est un jeu de pile ou face à espérance de gain infinie, auquel pourtant personne n'accepterait de jouer pour plus de quelques dizaines d'euros. La résolution de Daniel Bernoulli fonde toute la suite. Ce qui compte n'est pas l'argent mais l'utilité de l'argent, et celle-ci croît de moins en moins vite. Passer de 500 000 € à 1 M€ change une vie ; passer de 10 M€ à 10,5 M€ ne change rien. Cette concavité a une conséquence directe. À espérance égale, moins de dispersion vaut plus d'utilité. L'aversion au risque n'est pas une émotion, mais un théorème.

Pour le rentier, la concavité est extrême et asymétrique. La zone basse de sa distribution détruit le mode de vie, la dignité, les options. Ce sont les trajectoires qui frôlent ou touchent la ruine (La probabilité de ruine : la lire, la choisir, ne pas la subir). La zone haute, celle où l'on meurt sur un tas d'or, n'ajoute presque rien, sinon un héritage plus gros (Les dépenses réelles en retraite (retirement smile, Die With Zero)). Un critère qui pèse ces deux zones symétriquement, comme la moyenne, est donc structurellement inadapté au rentier. D'où une habitude constante dans ce livre. On juge les plans sur le percentile 5 et la médiane, jamais sur la moyenne (Lire un fan chart et des percentiles sans se tromper).

L'outil qui rend tout cela opérationnel s'appelle l'équivalent certain. C'est le montant garanti que vous accepteriez en échange d'une distribution risquée. Prenez deux plans de même moyenne. L'un donne 42 500 €/an à coup sûr, l'autre 20 000 ou 65 000 selon les marchés. Pour une personne raisonnablement prudente, le second « vaut » peut-être 36 000 certains. L'équivalent certain convertit ainsi n'importe quelle loterie en un chiffre comparable, et il baisse d'autant plus vite que les pires scénarios du plan sont mauvais. Nul besoin de le calculer formellement pour l'utiliser. Se demander « quel revenu garanti vaudrait ce plan risqué ? » est déjà le bon geste mental, et cela dégonfle aussitôt les plans à belle moyenne dont les mauvaises années sont désastreuses.

DÉCIDER SOUS INCERTITUDEL'équivalent certain : ce que vaut vraiment un plan risquéutilité (bien-être)revenu annuel (k€)l'utilité croît demoins en moins vitemauvais monde (20 k€)bon monde (65 k€)la loterie 50/50E = 42,5ÉC ≈ 36le prix du risque
Sur une courbe d'utilité concave, la loterie 50/50 entre 20 et 65 k€ vaut moins que son espérance de 42,5 k€. Son équivalent certain tombe vers 36 k€. L'écart entre les deux est le prix du risque.

Tolérance et capacité : deux curseurs, pas un§

Le vocabulaire courant confond deux choses que la décision doit séparer. La tolérance au risque est psychologique. C'est la baisse que vous supportez sans paniquer ni vendre (La psychologie du retrait : pourquoi dépenser est si dur). La capacité de risque est objective. C'est la baisse que votre plan encaisse sans casser, quelle que soit votre sérénité. Un ancien trader flegmatique, avec un plan tendu à 4,5 % de retrait, a une tolérance haute et une capacité basse ; un anxieux assis sur 50 fois ses dépenses a l'inverse. La règle de composition est simple et sans exception. C'est le minimum des deux qui commande. La capacité se calcule, un simulateur fait exactement cela. La tolérance se découvre, hélas, surtout dans les vraies baisses. D'où la valeur des tests d'admissibilité par stratégie (Choisir sa stratégie : critères, comparatif, cas d'usage) et des questions posées à froid, du type « votre retrait peut-il baisser de 20 % une année ? ».

Le regret, la satisfaction suffisante et la robustesse§

L'utilité ne capture pas tout ce qui compte. Trois idées complètent la boîte à outils, toutes trois plus respectables que leur réputation.

Le regret d'abord. Harry Markowitz lui-même, inventeur de l'optimisation de portefeuille, racontait avoir placé sa propre épargne en 50/50 « pour minimiser mon regret futur », plutôt que selon l'optimum de sa théorie. Le critère du minimax regret consiste à choisir l'option dont le pire regret rétrospectif est le plus petit. Il est parfaitement rationnel quand on ne vit qu'une trajectoire. Il explique pourquoi garder une part d'actions dans un plan prudent, par regret de rater trente ans de hausse, et une part d'obligations dans un plan agressif, par regret du krach de l'an 1. Ces choix dominent les solutions en coin. Beaucoup d'options « tièdes » de ce livre en relèvent : la dose d'or, le corridor de retrait, le 60/40 élargi. Ce sont des minimisations de regret assumées, et c'est un compliment.

La satisfaction suffisante ensuite (le satisficing de Herbert Simon). L'idée est de chercher une solution suffisante plutôt que la meilleure. Un plan qui atteint 90 % de réussite, avec un revenu qui vous suffit, n'a rien à gagner à optimiser davantage. Il a même beaucoup à y perdre, en complexité, en frais et en fragilité. La question de Simon (« assez bon pour quoi ? ») sert mieux le rentier que celle de l'optimiseur (« maximal selon quel modèle ? »). Cette dernière a toujours pour vraie réponse « selon un modèle faux » (Monte-Carlo : forces, faiblesses, bon usage).

La robustesse enfin. Une décision robuste reste bonne même quand le modèle qui l'a produite se trompe. Les optima de portefeuille sont notoirement des crêtes fragiles. Changer le rendement attendu d'un point déplace l'allocation « optimale » de vingt. Mais la nature nous fait une grâce, car autour de l'optimum la surface est plate. Entre 50 et 80 % d'actions, le SWR bouge à peine (L'allocation actions/obligations en retrait) ; entre 5 et 15 % d'or ou de trend, idem. La bonne pratique découle de ce relief. On identifie le plateau, on s'installe en son milieu, pas au bord, où une erreur de modèle fait tout basculer, et on fuit toute recommandation qui n'existe que sur une crête. C'est l'optimisation robuste, dans sa version praticable sans mathématiques. On optimise contre la pire des hypothèses plausibles, pas pour la meilleure des estimations.

Le protocole : cinq règles pour décider§

Tout ce qui précède se condense en un protocole applicable à chaque décision du plan, de l'allocation au choix de la date (Le syndrome de l'année de plus).

Un : jugez les décisions sur le processus, jamais sur le résultat d'une trajectoire (une bonne décision peut mal tourner, un pari stupide peut payer ; sur une seule vie, confondre les deux est l'erreur la plus chère). Deux : comparez les plans sur le couple percentile 5 + médiane (votre équivalent certain artisanal), pas sur la moyenne ni sur le meilleur cas. Trois : préférez le milieu des plateaux aux sommets des crêtes, et méfiez-vous de toute option dont la supériorité disparaît quand on bouge une hypothèse d'un point. Quatre : à choix proche, minimisez le regret anticipé, dans les deux directions (le krach comme la hausse ratée). Cinq : écrivez la décision et ses conditions de révision à froid (Construire son plan pas à pas), car la meilleure théorie de la décision du monde ne survit pas à une décision prise en mars 2020 à 23 heures.

L'essentiel à retenir§

Pour aller plus loin§