Moyenne arithmétique, moyenne géométrique et volatility drag

Voici la question piège la plus rentable de toute la finance personnelle : un placement fait +50 % la première année, −50 % la seconde. Rendement moyen : 0 %. Combien avez-vous gagné ?

Réponse : vous avez perdu 25 % (100 → 150 → 75). La « moyenne » qu'on vous a annoncée est parfaitement exacte, et parfaitement trompeuse. Cette page démonte le mécanisme. Elle explique la différence entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique, et le frein de volatilité (volatility drag) qui les sépare. Ce drag est la clé de voûte silencieuse de tout le sujet FIRE. C'est lui qui explique pourquoi les rendements des brochures ne sont pas des rendements vivables, pourquoi la volatilité est un coût même sans krach, pourquoi les fonds à levier déçoivent, et pourquoi le taux de retrait sûr est si loin des « 7 % des actions ».

Après cette page, plus personne ne pourra vous vendre une moyenne.

Le volatility drag : la volatilité est un coût§

L'écart entre les deux moyennes obéit à une approximation célèbre et remarquablement précise :

rendement géométrique ≈ rendement arithmétique − σ² / 2

La lettre grecque σ (sigma) est la notation universelle de la volatilité, c'est-à-dire l'écart-type des rendements annuels. Elle s'écrit en fraction, et c'est là qu'on se trompe le plus souvent : 15 % de volatilité, c'est σ = 0,15, donc σ²/2 = 0,011, soit 1,1 point de rendement annuel envolé. Pas 15² / 2.

Le terme σ²/2 est précisément le volatility drag. Il vient d'une asymétrie que tout le monde connaît sans en tirer les conséquences. Après −20 %, il faut +25 % pour revenir. Après −50 %, il faut +100 %. Les pertes pèsent mécaniquement plus lourd que les gains de même taille, et plus les oscillations sont amples, plus la composition en souffre.

Le calcul se refait sur n'importe quelle ligne de votre portefeuille, puisque les deux ingrédients sont affichés côte à côte dans un outil de visualisation de portefeuille comme pofo. Sur les dix dernières années, le MSCI World y montre un CAGR de 13,0 % et une volatilité de 15,4 % (en dollars, nominal). Le drag vaut donc 0,154² / 2 ≈ 1,2 point : la moyenne arithmétique de ces dix années tournait autour de 14,2 %, alors que le capital, lui, n'a composé qu'à 13,0 %. L'écart de 1,2 point n'est allé nulle part. Il n'a simplement jamais existé ailleurs que dans la moyenne.

Quelques ordres de grandeur pour calibrer l'intuition (drag = σ²/2) :

La dernière colonne part chaque fois de 7 % arithmétique, pour isoler le seul effet de la volatilité.

Comparez les deux lignes à levier, elles disent tout. L'empilement 90/60 porte 150 % d'exposition, et sa volatilité reste pourtant celle des actions nues : le levier est étalé sur deux moteurs peu corrélés et roulé sur des contrats à terme longs, jamais remis à zéro chaque soir (Return stacking, overlays et portable alpha). Le ×2 quotidien, lui, empile son levier sur un seul actif et le réinitialise chaque jour : il double l'arithmétique mais quadruple la variance.

D'où un phénomène qui surprend tous les débutants : un ETF à levier quotidien ×2 sur un indice volatil peut faire moins bien que l'indice sur longue période, alors qu'il double fidèlement chaque journée. Dès que le surcroît de drag dépasse le rendement supplémentaire, le levier détruit (Levier, marge et lombard en retrait (avancé)).

Ce surcroît a un nom, le beta slippage (le glissement du bêta, c'est-à-dire ce que la remise à niveau quotidienne du levier ajoute au frein de l'actif nu). Ce n'est pas un second phénomène. C'est le même, amplifié par le reset. Un produit à levier L remis à niveau chaque jour compose à peu près L × μ − L² × σ²/2, quand L fois la croissance composée de l'indice vaudrait L × μ − L × σ²/2. L'écart entre les deux, (L² − L) × σ²/2, est le beta slippage. Pour L = 2 il vaut σ², soit deux fois le frein que subit l'indice lui-même, et le frein total du produit vaut alors 2σ², quatre fois celui de l'indice. À 20 % de volatilité, l'indice perd 2 points par an à la composition et le ×2 quotidien en perd 8.

Le reset joue pourtant dans les deux sens, et c'est la partie qu'on oublie de dire. En 2013, le S&P 500 a gagné 32 % et un ×2 quotidien 73 %, soit bien plus que le double de l'indice : dans une tendance suivie, la remise à niveau réinvestit les gains chaque soir et le produit dépasse son propre multiple. En 2011, le même indice a gagné 2 % et le même produit a perdu 1 %, parce qu'un marché qui oscille sans avancer fait tourner la même mécanique à l'envers. Le beta slippage est donc une espérance, pas une taxe prélevée chaque année. Ce qui ne varie jamais, c'est le sens de l'écart face à deux fois la croissance composée de l'indice, et cet écart-là vaut la variance réalisée, toujours.

Et une belle courbe ne dit rien du régime. Devant un ×2 quotidien à l'historique lisse, la question naturelle est de savoir ce que la courbe cache. Rétrospectivement, rien : le slippage des années écoulées y est déjà retranché, jour après jour. Ce que la courbe ne porte pas, c'est le régime de volatilité qui l'a produite. Le frein croît comme (L × σ)² / 2, donc au carré de la volatilité, et le même produit ×2 perd 4,5 points par an sur un indice à 15 % de volatilité contre près de 10 points si le régime passe à 22 %. Espérance et ratio de Sharpe se dégradent bien plus vite que ceux de l'actif nu quand la volatilité monte. Or la plupart des historiques affichés sont nés dans une décennie porteuse et peu volatile, et ne contiennent tout simplement pas 2000-2009 (Levier, marge et lombard en retrait (avancé)).

La même mécanique éclaire pourquoi la diversification est le seul repas gratuit (free lunch) de la finance. Combiner des actifs décorrélés baisse σ sans baisser la moyenne arithmétique, donc augmente la géométrique. La diversification ne promet pas de meilleures années moyennes. Elle promet un meilleur effet des intérêts composés. Le mécanisme complet, prime de rééquilibrage (rebalancing premium) comprise, est dans Pourquoi la diversification fonctionne ; l'assemblage dans Les portefeuilles tous-temps : Browne, All-Weather, Golden Butterfly, Dragon et Les actifs défensifs : panorama et rôles.

La cascade : de la brochure au taux de retrait§

Le volatility drag est la première marche d'une cascade qui mène du chiffre marketing au chiffre vivable. Suivons « les actions font 10 % » jusqu'au taux de retrait, étape par étape :

1. 10 % arithmétique nominal : la moyenne des années, celle des brochures et des manuels.
2. − drag (~1,1 % à 15 % de vol) → ~8,9 % géométrique nominal : ce que compose un capital investi. C'est cette moyenne-là que les outils de visualisation de portefeuille affichent sous le nom CAGR, jamais l'arithmétique.
3. − inflation (~2,5 %) → ~6,4 % géométrique réel : la seule monnaie qui compte sur 40 ans (Inflation et taux de retrait : le lien exact). Historiquement, les actions mondiales ont rapporté ~5 % géométrique réel ; les portefeuilles diversifiés 60/40, plutôt 3,5 à 4,5 %.
4. − frais et fiscalité (0,3 à 1,5 % selon vos enveloppes et véhicules, Construire en UCITS : le portefeuille de retrait de l'investisseur européen, PFU, barème, abattements : l'imposition des retraits).
5. − prime de séquence : même le géométrique réel net n'est retirable que si les rendements arrivent sans désordre ; leur irrégularité face à des retraits fixes coûte encore 1 à 1,5 point (Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité).

Arrivée : 3 à 3,5 % de taux de retrait rigide soutenable pour un horizon long, exactement la fourchette que la recherche moderne trouve par des chemins indépendants (La règle des 4 % en dix minutes, La série Safe Withdrawal Rate d'ERN : guide de lecture). C'est le bord prudent de la cascade, non son milieu, car retenir le bord favorable de chaque marche laisserait plutôt 5 %. Un 60/40 parti de son propre 3,5 à 4,5 % réel y atterrit d'ailleurs par le même chemin. Ce n'est pas une coïncidence : la règle des 4 % n'est pas mystérieuse, elle est l'aboutissement comptable de cette cascade. Mémorisez la hiérarchie : arithmétique > géométrique > géométrique réel > taux de retrait soutenable, avec 0,5 à 1,5 point perdu à chaque marche.

Trois applications directes au FIRE§

1. Calibrer un simulateur. Les paramètres d'un simulateur sérieux travaillent en réel. Le μ demandé est un rendement réel espéré, et le moteur applique la volatilité σ pour générer les trajectoires. Le drag émerge alors tout seul dans les résultats (Sous le capot : comment pofo calcule ce livre). Le piège classique consiste à entrer un μ arithmétique nominal (« 8 % ») : vous venez de fabriquer un monde de rêve. Repère : pour un portefeuille diversifié mondial, un μ réel de 4 à 5 % avec un σ de 12 à 15 % est la zone raisonnable. Le simulateur le pré-remplit depuis l'historique de vos fonds puis le tire vers un prior prudent (un prior est l'hypothèse retenue avant de regarder ses propres données, ici celle que suggère le siècle des marchés développés), précisément pour vous éviter cette erreur (Rendre un Monte-Carlo pertinent (blending, régimes, stress), Les rendements attendus prospectifs).

2. Juger un portefeuille de retrait. Deux portefeuilles de même espérance arithmétique ne se valent pas : le moins volatil compose mieux et résiste mieux à la séquence, double avantage. C'est pourquoi les portefeuilles de retrait sérieux sacrifient de la moyenne pour de la régularité (obligations, or, diversification de régimes, L'allocation actions/obligations en retrait, Les portefeuilles tous-temps : Browne, All-Weather, Golden Butterfly, Dragon) et pourquoi le « 100 % actions, c'est optimal à long terme » de l'accumulation ne survit pas au premier retrait (Les dix erreurs qui ruinent un plan FIRE).

3. Lire ses propres performances. Le « +9 % par an sur 5 ans » affiché par votre relevé est probablement une moyenne arithmétique. Le seul chiffre honnête pour vous-même : (valeur finale / valeur initiale)^(1/n) − 1, corrigé des apports (un bon simulateur calcule le TRI et le CAGR proprement sur vos flux réels). Beaucoup d'investisseurs découvrent que leur performance composée réelle est 2 à 3 points sous leur impression. La différence part en drag, en frais et en mauvais timing des apports, ce dernier valant à lui seul 1,2 point par an dans l'étude Mind the Gap de Morningstar, sur les dix années arrêtées fin 2024.

Pour les curieux : pourquoi σ²/2 exactement§

Sans formalisme : le logarithme d'un rendement, ln(1+r), est ce qui s'additionne vraiment d'une année à l'autre (composer, c'est additionner des logs). Or ln(1+r) est une fonction concave. Elle pénalise les écarts vers le bas plus qu'elle ne récompense les écarts vers le haut. En développant ln(1+r) ≈ r − r²/2 et en prenant l'espérance, le terme −r²/2 fait apparaître −σ²/2 en moyenne. C'est l'inégalité de Jensen rendue comptable. Le drag n'est donc ni un frottement de marché ni un coût caché. C'est une propriété mathématique de la composition, aussi inévitable que les intérêts composés eux-mêmes, dont il est exactement le côté obscur. Les modèles travaillent nativement en composition, période par période. Le drag y est donc capté par construction, pas par approximation (Sous le capot : comment pofo calcule ce livre).

L'essentiel à retenir§

• Deux moyennes : l'arithmétique (l'année typique) et la géométrique (la croissance vécue) ; votre capital vit en géométrique, le marketing parle en arithmétique.
• L'écart est le volatility drag ≈ σ²/2 : la volatilité est un coût de composition, même sans krach, même quand la moyenne annoncée est nulle.
• La cascade brochure → vivable : − drag, − inflation, − frais, − prime de séquence ; il reste 3-3,5 % de retrait rigide soutenable, la règle des 4 % démystifiée.
• Diversifier augmente la géométrique à arithmétique égale. C'est la justification mathématique du portefeuille de retrait diversifié ; le levier fait l'inverse, et la remise à niveau quotidienne y ajoute le beta slippage, (L² − L) × σ²/2.
• Trois questions réflexes devant tout chiffre : composé ? réel ? net ? Et pour vos simulateurs : μ réel et modeste, jamais la moyenne de la brochure.

Pour aller plus loin§

• Early Retirement Now, SWR Series volet 8 (l'appendice technique) et volet 33 (calculer un taux de retrait sans simulation) : la cascade formalisée (La série Safe Withdrawal Rate d'ERN : guide de lecture).
• William Bernstein, The Intelligent Asset Allocator, chapitre 1 : la meilleure introduction écrite aux deux moyennes.
• Markowitz (1952) et la lecture moderne « geometric mean maximization » (Kelly, Latané) : pourquoi maximiser la géométrique, pas l'arithmétique.
• La suite logique dans ce livre : Le risque de séquence : le vrai ennemi du retraité (la marche suivante de la cascade) et Les rendements attendus prospectifs (quelles valeurs de μ sont défendables aujourd'hui).